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[Games] Les mots les plus probables à “Des chiffres et des lettres”

Pour changer un peu, aujourd’hui, un post écrit en français ! De temps à autres pendant mes congés, je prends le temps de regarder la célèbre émission “Des chiffres et des Lettres”. Je m’assois devant ma télévision avec une bonne tasse de thé bien chaud, du papier et un crayon pour compter les points, et je tente de terminer avec le score le moins éloigné possible du vainqueur du jour. Sur la partie “Le compte est bon” (les chiffres, donc), je crois m’en tirer honorablement. “Le mot le plus long” (les lettres) est pour moi un exercice beaucoup plus difficile ; il n’est pas rare que je n’aie rien à proposer, quand les candidats ont de leur côté trouvé le même “8 lettres” dont j’ignore la signification !

Bien que je n’aie que trop rarement l’occasion de regarder l’émission, il me semble que l’on retrouve assez souvent les mêmes mots parmi les solutions. De plus, certains mots rares semblent connus de beaucoup de candidats : si je comprends bien, il s’agit quand on s’entraîne de procéder un peu comme au Scrabble, en apprenant à reconnaître des types de combinaisons, et les listes de mots associés. Je me suis donc demandé si l’on pourrait construire des probabilités de tirage pour chaque mot, et en déduire la liste des mots les plus probables.

En cherchant sur les interwebs, je suis tombé sur beaucoup de solveurs “Le mot le plus long” programmés en javascript, quelques fanblogs avec des conseils pour joueurs en herbe, mais rien qui ne ressemble à un début de réponse à la question que je me posais (pour une analyse de la partie “Le compte est bon”, je vous renvoie à l’excellent post sur le blog Datagenetics).

Le problème

Il s’agit donc de dresser une liste des mots valides dans le jeu, et de leur attribuer à chacun une probabilité de tirage. Intuitivement, cette probabilité de tirage doit prendre en compte la fréquence des lettres tirées par l’ordinateur de l’émission, ainsi que la fréquence d’occurrence des voyelles relativement aux consonnes.

En effet, si vous avez bien compris le principe de l’émission (sinon, rassurez-vous, vous n’êtes pas les seuls), chaque candidat choisit à tour de rôle “consonne” ou “voyelle”, et l’ordinateur tire ensuite une lettre correspondant au choix du candidat. Les choix des candidats doivent donc logiquement influencer la probabilité que l’on attribue à chaque mot.

Afin de ne pas trop surcharger ce post, je n’écrirai pas ici le code utilisé pour chaque étape. Mon programme est écrit en R, et je le mettrai probablement à disposition sur mon gitorious prochainement.

Les données

Pour commencer, nous avons bien entendu besoin d’un dictionnaire adapté, c’est-à-dire contenant uniquement les mots valides selon la règle du “mot le plus long”. Le dictionnaire Lexique contient des informations qui permettent d’identifier la nature grammaticale des mots, ce qui va nous permettre de retirer de la liste les mots interdits par le règlement. Le fichier contient également quelques informations utiles sur chaque mot (sa fréquence d’usage, par exemple), ce qui devrait nous permettre de faire quelques statistiques intéressantes. La dernière mise à jour du dictionnaire Lexique semble dater de 2007. Même si des mots apparaissent et disparaissent chaque année du dictionnaire, un intervalle de 7 ans me semble largement acceptable pour répondre à mes besoins.

Il faut ensuite trouver la probabilité d’appartition de chaque lettre, conditionnellement au choix “Voyelle” ou “Consonne”. Le règlement de l’émission n’est pas très explicite à ce sujet, et après une petite recherche google, il semble que personne ne connaisse réellement les probabilités de sélection des lettres. Qu’à cela ne tienne, nous allons les estimer à l’aide de la loi des grands nombres et d’une base de données ! Jacques Colard tient à jour sur sa page une base de données recensant tous les tirages depuis 1997. Ce travail très impressionnant nous sera également utile pour analyser les choix “voyelle” ou “consonne” des candidats. Le dernier changement dans les règles de jeu date de fin 2011. Afin d’éviter tout problème, mon étude porte sur toutes les émissions diffusées entre janvier 2012 et décembre 2014. Le nombre de tirages dans la base (4671) me semble largement suffisant pour obtenir une bonne précision sur les estimations qui m’intéressent.

Le modèle de probabilité

Nous allons expliciter notre raisonnement à l’aide d’un exemple. Supposons que le jeu se joue avec 4 lettres, et que les candidats ont choisi “Consonne” – “Voyelle” – “Consonne” – “Voyelle” (que je note par le suite le pattern CVCV). Calculons la probabilité de sortie du mot “CAVE” avec ce choix. Commençons par les voyelles : A et E. Pour trouver la probabilité de sélection étant donné la probabilité d’apparition de A et E parmi les voyelles, on peut fonctionner avec un arbre de probabilités (la méthode qui est enseignée au lycée, il me semble) :

arbre_proba_horizontal.svg

En suivant le chemin A, puis E, on obtient :

\Pr(A) \cdot \Pr(E)

Mais nous aurions pu tout aussi bien choisir d’abord “E”, ensuite “A”, ce qui nous aurait donné un autre chemin à suivre dans l’arbre de probabilités. On a finalement :

\Pr(A,E) = 2 \cdot \Pr(A) \cdot \Pr(E)

On peut procéder exactement de même avec les consonnes, ce qui donne finalement :

\Pr(C,A,V,E) = (2 \cdot \Pr(A) \cdot \Pr(E)) \cdot (2 \cdot \Pr(C) \cdot \Pr(V))

Plus généralement, pour tout mot, la probabilité de présence étant donnée le pattern s’écrit :

\Pr(mot | pattern) = NP(voyelles) \cdot \underset{lettre \in Voyelles}{\displaystyle{\prod}} \Pr(lettre | voyelle) \cdot NP(consonne) \cdot \underset{lettre \in Consonnes}{\displaystyle{\prod}} \Pr(lettre | consonne)

avec :

NP(mot) = \text{nombre de permutations des lettres du mot} = \dfrac{(nombre~lettres)!}{\underset{lettres~repetees}{\displaystyle{\prod}} (occurences~lettre)!}

Je ne détaille pas ici le calcul du nombre de permutations des lettres du mot, qui est un problème classique de combinatoire. Je précise simplement qu’il faut penser à prendre en compte le fait que permuter deux lettres identiques ne constitue pas une nouvelle permutation du mot (vous pouvez vous rendre ici pour une explication détaillée).

Il faut ensuite trouver à partir de la probabilité conditionnelle au pattern la probabilité générale sur tous les patterns. On considère que tous les patterns sont des événements disjoints, ce qui permet d’écrire :

\Pr(mot) = \sum_{pattern} \Pr(mot | pattern)

Estimation des probabilités de tirages des lettres

B C D F G H J K L M N P Q R S T V W X Z
N 777 1664 1075 647 960 666 104 109 2094 1248 2901 1196 232 3562 4152 2846 479 32 197 98
% 0.031 0.0665 0.0429 0.0258 0.0383 0.0266 0.0042 0.0044 0.0836 0.0498 0.1159 0.0478 0.0093 0.1423 0.1658 0.1137 0.0191 0.0013 0.0079 0.0039
A E I O U Y
N 4097 8320 3849 2821 2267 317
% 0.1891 0.3839 0.1776 0.1302 0.1046 0.0146

La fréquence d’apparition de chaque voyelle (et de chaque consonne) est utilisée comme d’estimateur de la probabilité de tirage de chaque lettre. Comme attendu, les lettres rares (Y, Z, etc.) sont moins probables que les lettres courantes (A, E, S, etc.).

Estimation des probabilités des patterns

Mon idée était que les choix des candidats étaient différents suivant les lettres déjà tombées (imaginez un tirage où vous avez déjà obtenu Z,H,Y,U – je suppose que votre choix futur ne sera pas nécessairement le même que si vous avez obtenu E,R,S,A), mais les lettres dans la base semblent apparaître toujours dans le même ordre (à nombre de voyelles égal). La base a déjà dû être ordonnée, et je ne peux donc pas différencier les patterns par ordre d’apparition des voyelles et consonnes (bien que cela ne me semble pas être une approximation trop dramatique !). On s’aperçoit par contre que les fréquences ne sont pas du tout symétriques en nombre de voyelles et de consonnes :

CVCVCVCCCC CVCVCVCVCC CVCVCVCVCV VCVCVCVCVV VCVCVCVVVV VCVCVVVVVV
N 72.00 1805.00 2538.00 248.00 7.00 1.00
% 0.02 0.39 0.54 0.05 0.00 0.00

Note : cette façon de procéder suppose que les tirages sont effectués avec remise, ce qui ne semble pas vrai d’après le règlement de l’émission. On réalise donc en réalité une autre approximation. Cette approximation est potentiellement plus grave pour les lettres rares. En effet, supposons que l’on tire sans remise parmi 100 lettres, contenant 30 “E” et 2 “Z”. Si la première lettre tirée est un “E”, la probabilité de tirer un “E” en deuxième lettre est de 29/99 et la probabilité avec remise (celle que nous utilisons), est de 30/100, qui lui est pratiquement égal. Par contre, si l’on a tiré un “Z” en première lettre, la probabilité de tirer un “Z” en seconde lettre est de 1/99, qui est pratiquement deux fois inférieur à 2/100, la probabilité avec remise. Néanmoins, le nombre de mots avec deux “Z” dans le dictionnaire me semble suffisamment limité pour que l’on ne s’inquiète pas trop de cette approximation !

2,5% de chances qu’un tirage contienne un 10 lettres

Les tirages où il existe un 10 lettres semblent assez peu communs dans l’émission. Dans une des dernières émissions que j’ai pu suivre, les présentateurs de l’émission ont signalé la rareté de l’événement en félicitant un candidat qui avait trouvé un mot de 10 lettres. Essayons d’estimer la probabilité de cet événement en utilisant notre table. On peut utiliser la formule suivante : Si les An sont des événements deux à deux incompatibles, on a :

\Pr(\displaystyle{\cup}_n A_n ) = \displaystyle{\sum}_n \Pr(A_n)

En considérant l’union de tous les mots de 10 lettres, sont-ils deux-à-deux incompatibles ? Non, car des anagrammes peuvent coexister au sein d’un même tirage. Il suffit donc de retirer les anagrammes de notre dictionnaire, afin de pouvoir sommer les probabilités de chaque mot de 10 lettres pour obtenir la probabilité qu’il existe un 10 lettres dans le tirage. On obtient :

\Pr(existe~un~10~lettres) \approx 2.49 \%

Une vérification sur la période 2012 – 2014 montre qu’il y a eu 120 tirages avec existence d’au moins un 10 lettres sur 4671 tirages dans notre base. Ce qui donne une fréquence de 2.57% : pas trop mal !

Pour donner un ordre de grandeur de cette probabilité : en partant d’une émission diffusée à un instant t, il y a presque 40% de chances qu’aucun 10 lettres ne sorte avant 40 tirages, c’est-à-dire presque 7 émissions.

Les mots les plus probables (par nombre de lettres)

odalisque.jpg
Enfin, nous y voici ! Nous sommes désormais capables d’attribuer une probabilité à chaque mot valable pour “Le mot le plus long”. Le mot les plus probable est IE (qui est référencé comme nom dans le dictionnaire Lexique, mais n’est peut-être pas accepté par le dictionnaire de référence, étant une abréviation). Le deuxième mot le plus probable est “EU”, participe passé du verbe “avoir”.

Quelques mots ont une probabilité strictement nulle, car ils contiennent 2 voyelles et 7 ou 8 consonnes, patterns inexistants dans notre base 2012-2014, et donc réputés de probabilité nulle : BLANCSBECS, CULSBLANCS, FRANCFORTS, GRANDSDUCS, HALFTRACKS, NIGHTCLUBS, PLATSBORDS, SCHILLINGS, SCHTROUMPF, SCRATCHING,
SCRIPTGIRL, SHRAPNELLS, SPHINCTERS, SPRINKLERS, STRESSANTS, STRETCHING, TCHATCHANT, TRANCHANTS, TRANSCRITS, TRANSFERTS, TRANSPORTS, TREMBLANTS.

Le mot le moins probable à probabilité strictement positive est BOWWINDOWS. Sa probabilité vaut de l’ordre de 10^-15, ce qui signifie que l’on peut espérer le voir apparaître environ une fois toutes les… 26 000 milliards d’émissions !

Comme on peut s’y attendre, la probabilité est fonction décroissante du nombre de lettres, comme le montre ce graphe en échelle logarithmique :

proba_nombre_lettres.png

Je termine en donnant les mots les plus probables par nombre de lettres (de 6 à 10) :

Mots de 6 lettres

mot probabilite (%) anagrammes
AINEES 0.22 ANISEE
OISEAU 0.21
AEREES 0.20
AERIEN 0.19 ANERIE
SOIREE 0.19

Mots de 7 lettres

mot probabilite (%) anagrammes
OSERAIE 0.11
AERIENS 0.10 ANERIES
ATRESIE 0.09
SATINEE 0.08
REALISE 0.07 SALIERE

Mots de 8 lettres

mot probabilite (%) anagrammes
ARTESIEN 0.04 TANIERES,TRAINEES
ARLESIEN 0.03 LANIERES
ALTIERES 0.03 ATELIERS,REALISTE,REALITES
RATISSEE 0.03
EURASIEN 0.03 RAINEUSE

Mots de 9 lettres

mot probabilite (%) anagrammes
INALTERES 0.02 RALENTIES
NOTARIEES 0.02
INSTAUREE 0.01
CARTESIEN 0.01 CERTAINES,SENATRICE
ENLIASSER 0.01

Mots de 10 lettres

mot probabilite (%) anagrammes
ORIENTALES 0.01 ORLEANISTE
INALTEREES 0.01
NEUTRALISE 0.01 RELUISANTE
INSTAUREES 0.01 TRAINEUSES
RATIONNEES 0.01

Certains de ces mots m’étaient inconnus ou ne me seraient jamais venus à l’esprit dans le cadre du jeu (OSERAIE, ATRESIE, ENLIASSER, RAINEUSE, etc.) !

To be continued…

J’arrête ici ce post déjà bien long… mais je ne manque pas d’idée pour exploiter ma nouvelle base de données (que je vous livre en format texte csv) ! Je vous donne donc rendez-vous d’ici quelques jours pour la deuxième partie de cette analyse des mots les plus probables à “Des chiffres et des lettres”.

Télécharger la base des probabilités des mots

Image titre : logo “Des chiffres et des lettres”, © France 3

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